重點提要
■17世紀，義大利數學家卡瓦列里提出：任何平面都是由無窮多個線條構成，而任何立體則由無窮多個平面組成。他說，我們可以利用這些「不可分量」來計算長度、面積和體積──這是邁向現代微積分重要的一步。
■和卡瓦列里同時代的瑞士數學家古爾丁對此非常不認同，他批評不可分量不合邏輯，但這兩人的爭論並非全是出於數學理由。
■他們分屬兩個不同教派，雖然名稱類似，但兩方教派的哲學大不相同：古爾丁屬於耶穌會，而卡瓦列里則屬於耶穌教團。前者相信可利用數學把嚴密的邏輯結構強加在混亂的宇宙之上，後者則比較想順從直覺去了解複雜的世界。
無數學生都學過微積分，也就是把物體分割成許多等分再加總起來，以求得長度、面積或體積，屬於數學的一門分支，但是很少人知道，他們的微積分作業有一些源自17世紀兩位學者之間的爭辯。在1635年，義大利數學家卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）宣稱，任何平面是由無窮多個平行線構成，而任何立體則由無窮多個平面組成。他的「不可分量法」（method of indivisibles）曾經遭受瑞士數學家古爾丁（Paul Guldin）因經驗理由而抨擊，但是後來仍保存下來，成為了微積分的先驅。美國加州大學洛杉磯分校的亞歷山大發現，這場爭辯的背後藏有更多的個人動機。本文摘錄自亞歷山大的最新著作，他指出卡瓦列里和古爾丁分屬不同的天主教會，兩人對於如何透過數學來理解現實的本質，意見有所分歧。
古爾丁在1641年出版的著作《重心》（De Centro Gravitatis，亦稱Centrobaryca）的第四卷內，詳細批判了卡瓦列里的不可分量法。古爾丁認為，古典數學家無法接受卡瓦列里的證明，因為那不是構造性證明（constructive proof）。這樣的說法確實沒錯，在傳統的歐氏幾何裡，幾何圖形是一步接一步，從簡單到複雜，只藉由直尺畫線和圓規畫圓建構起來。在證明圖形的每個步驟裡，都必須具有這種建構性，再加上邏輯演繹，才能得到最後的圖形。然而卡瓦列里卻反其道而行，他從拋物線、螺線等已經畫出的幾何圖形開始，然後把它們分割成無窮多的等分。這種方法或許可以稱為「解構」，而不是「建構」，其目的並非建立合乎邏輯的幾何圖形，而是拆解既有圖形的內部結構。
古爾丁接著攻擊卡瓦列里方法的基本原則，也就是平面由無窮多個平行線構成、立體由無窮多個平面組成的這種概念。古爾丁堅稱這種概念簡直是胡說八道，他說：「沒有幾何學家會認同他的平面概念，更不可能以『圖形裡的所有直線』這種幾何語言來稱呼平面。」
換句話說，因為線條沒有寬度，即便數量再多的線條並排在一起，也無法構成最小的平面。因此卡瓦列里透過圖形中「所有線條」來計算平面面積，顯得很荒謬。古爾丁接著說出他的觀點：卡瓦列里的方法是，以某個圖形的所有線條與另一個圖形的所有線條之間的比例來計算。但古爾丁堅稱，兩個圖形的線條都無窮多，兩個無窮之間的比例並無意義。無窮多個不可分量不論乘以幾次，都不可能超過另一組無窮多個不可分量。
宗教介入？
古爾丁批評卡瓦列里方法的所有論述，具體展現出當時耶穌會（Jesuit）數學的核心原則。耶穌會數學的傳統創始者克拉維烏斯（Christopher Clavius）與信徒深信，從簡單的公設到更複雜的定理，數學推演都必須具有系統並符合邏輯演繹，以描寫圖形之間的普遍關係，構造性證明正是這種理想的具體表現。這種方法能產生嚴謹、有階層的數學邏輯，對耶穌會而言，這正是人們為何研究這個領域的主因。這種方法能透過系統化的演繹，顯現出抽象原則如何建構出固定且理性的世界，其中的真理是萬物適用而不可挑戰的。對此，克拉維烏斯指出，歐氏幾何要比其他任何科學更接近耶穌會嚴謹、階層和秩序的理想。由此可知，古爾丁並非如卡瓦列里和他的朋友所認為，是因為迂腐或心胸狹隘而緊抱著構造性證明不放，他不過是表現出自己對所屬教派的堅定。
古爾丁對於卡瓦列里方法基本原則的批評，也是如此。數學不僅必須具有階層、構造性，還必須完全理性、不能有所矛盾。但古爾丁指出，卡瓦列里不可分量中最核心的概念是條理不清的，因為把連續體視為不可分量的組合這種概念是禁不起理性的考驗。他喝斥：「不存在的事物，就是不可能存在，無法拿來互相比較，也難怪會造成矛盾和不一致，最後導致錯誤。」
對於耶穌會來說，這樣的數學還不如不要，畢竟數學的目的是為世界帶來正確的秩序和穩定，而不可分量法卻會造成困惑和混亂。假如接受這種有瑕疵的系統，數學就不能永久維持理性和秩序的基礎，那麼耶穌會的夢想，也就是一個如同幾何真理般有嚴謹階層而不可挑戰的夢想，也將隨之瓦解。
古爾丁在他的著作裡並未解釋他反對不可分量的深層哲學動機；其他耶穌會數學家也不曾解釋，例如同樣抨擊卡瓦列里的貝蒂尼（Mario Bettini）和塔奎特（Andrea Tacquet）。古爾丁一度差點坦承，這件事不僅攸關數學，而是牽涉更廣的議題。他神秘地寫道：「我認為不該以那些必須受到抑制的動機與不適當的沉默，來排拒不可分量法。」但他不曾解釋過那些「必須受到抑制的動機」究竟是什麼。這三位數學家擔負起了用數學抨擊不可分量的任務，而不涉及哲學或宗教。假設他們坦承這些動機是基於神學或哲學上的考量，他們在數學領域的威信必將受損。
那些參與不可分量論戰的人，當然知道真正的風險何在，就像耶穌教團（Jesuat）數學家安傑里（Stefano degli Angeli）以詼諧的文句暗示：不知道耶穌會數學家是受到「何種神靈」的感召。然而除了極少數的例外，這場爭辯一直局限在數學領域，是兩群受過高度訓練的專家，在爭論數學演算程序的合理性。
作者：亞歷山大 翻譯：鍾樹人/科學人雜誌 2014年7月3日
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