2015年7月18日 上午11:43
國際中心／綜合報導
相信對不少人來說，數學這項科目一直都是學生時期的一大夢饜，但對日本一名剛滿8歲的男童來說，數學不只不可怕，而且還相當有趣呢！
這位數學神童名叫高橋洋翔，目前就讀小學二年級的他，卻在日前通過了「準1級」的數學鑑定考試，相當於高中三年級的程度，而且他接下來還將接著挑戰大學程度的數學檢定。
高橋弟弟從小就展現出驚人的數學天賦，不只在3歲時就開始演算質因數分解，更在5歲就開始挑戰數學檢定。
日本數學檢定協會將數學檢定從程度最低的12級排到最高的1級，而在第1級與第2級間又有「準1級」、第2級與第3級間則有「準2級」，因此共分為14個級別。高橋在5歲通過11級檢定後，每天就花上1至2小時，看書或上網自學。去年10月他就以小一的身分通過2級檢定，寫下最年少的紀錄保持人。
高橋立志要研究出像微積分那樣的心數學理論，還打算把將棋數學化，找出自己獨創的勝利公式。
轉貼自奇摩新聞
數學科教學網誌
2015年7月20日 星期一
2015年6月26日 星期五
香港6歲童「停車格數學題」 限時20秒，你猜對了嗎？
國際中心／綜合報導
近日網路上瘋傳一組香港小學生的入學考題，從中可見6個停車格上分別被標上「16、06、68、88、汽車、98」等數字，應試者須在20秒內解出答案，由於這5組數字看似毫無邏輯，許多網友思考了許久，仍然不得其解，但殊不知答案就只在「轉」念之間。
這個6歲孩童的入學測驗題，先是在大陸社群網站新浪微博上瘋傳，再被英國《每日郵報》引述報導，綠底黑字的紙上，除了畫出6道停車格外，更以英文提問道，「請問汽車所在的位置的數字是多少」？
許多大人看到這一系列數字，直覺地套用各種高級數學公式，希望能推敲出這系列數字中的邏輯關係，但其實只要把試卷紙「轉180度」，答案便顯而易見──因為在翻轉後，原本的6全變成9，也使得「16、06、68、88、汽車、98」變為「86、汽車、88、89、90、91」，汽車位置的答案「87」便呼之欲出了。
其實，這組數學題早在2013年便在網路上流傳，但《每日郵報》17日的報導仍引起廣大的迴響，短短1天就有8800個分享，還有1千多人留言。有網友表示，很多解不出問題的人，是因為他們總往難處想，以致於忽略了最簡單的答案；不過，也有網友表示自己花了3秒就解出來了，「這是不是說明我還保有赤子之心呢」？
轉自ETtoday東森新聞雲
原文網址:http://www.ettoday.net/news/20150618/522368.htm
近日網路上瘋傳一組香港小學生的入學考題，從中可見6個停車格上分別被標上「16、06、68、88、汽車、98」等數字，應試者須在20秒內解出答案，由於這5組數字看似毫無邏輯，許多網友思考了許久，仍然不得其解，但殊不知答案就只在「轉」念之間。
這個6歲孩童的入學測驗題，先是在大陸社群網站新浪微博上瘋傳，再被英國《每日郵報》引述報導，綠底黑字的紙上，除了畫出6道停車格外，更以英文提問道，「請問汽車所在的位置的數字是多少」？
許多大人看到這一系列數字，直覺地套用各種高級數學公式，希望能推敲出這系列數字中的邏輯關係，但其實只要把試卷紙「轉180度」，答案便顯而易見──因為在翻轉後，原本的6全變成9，也使得「16、06、68、88、汽車、98」變為「86、汽車、88、89、90、91」，汽車位置的答案「87」便呼之欲出了。
其實，這組數學題早在2013年便在網路上流傳，但《每日郵報》17日的報導仍引起廣大的迴響，短短1天就有8800個分享，還有1千多人留言。有網友表示，很多解不出問題的人，是因為他們總往難處想，以致於忽略了最簡單的答案；不過，也有網友表示自己花了3秒就解出來了，「這是不是說明我還保有赤子之心呢」？
轉自ETtoday東森新聞雲
原文網址:http://www.ettoday.net/news/20150618/522368.htm
企業最愛大學調查 成大居首
2015年06月26日10:12
1111人力銀行今天公布「2015企業最愛大學調查」，在1152位企業人力主管心目中，最愛的公立一般大學由成功大學拔得頭籌，其次是台大及交大；私立一般大學則以淡江大學居首，輔大、逢甲名列2、3名。
1111人力銀行表示，在評選中6大職場能力，包括專業知識技術、全球移動力、創意創新能力、學習力與可塑造性、溝通與表達能力等5項指標，皆由台大獨占鰲頭，但在企業最重視的「團隊與合作能力」項目，卻以成大居首，台大則遠遠落居第5名，而企業第2重視的學習能力與可塑造性，成大也以些微差距落後台大位居第2，因此整體而言成大才能拿謝總體第一的成績。
1111人力銀行副總李大華表示，成大培養出的人才，不但具備專業更擁有「好用」的特質，整體素質佳，因而成為企業指名度最高的學校。至於私校排名第一的淡江大學，極具規模與歷史，長期耕耘國際化、資訊化及未來化的發展，成為私校發展的領先指標。
至於在技專院校方面，公立技專院校前3位依序為台科大、北科大及雲科大；私立技專院校則以明志科技學院排第一，其他依序為朝陽科大及明新科大。
另外調查也顯示，年輕有幹勁(56.4%)、具創新思考能力(34.9%)與積極有企圖心(31.4%)是受訪企業樂於接受大學應屆畢業生的3大主因：但不接受大學應屆畢業生的企業認為，新鮮人上手太慢(49.3%)、訓練成本高(46.3%)及抗壓性低(34.3%)是不願接受社會新鮮人的3大原因。
成功大學校長蘇慧貞表示，成大培育出的人才是台灣產業發展的穩定力量，培育出的人才相當重視團隊合作及願意溝通這兩項特質。近年來該校加強人文社科的領域，原本的理工人才在跨領域薰陶下，出現許多投入文創創業成功的例子。下一階段會加強學生的全球移動力、創新發展能力及跨領域能力的培養，期盼能繼續培育出受企業青睞的人才，也希望企業能提供資源幫助學校。
台科大校長廖慶榮也說，台科大的學生雖然都是高職生，但動手做的能力絕對比一般生更好，未來會加強學生研發能力培養，希望培育出更多兼具理論與實務的人才。
聯電人力資源處長尤振富表示，目前科技產業的複雜性不是一個人單打獨鬥就可以，因此專業能力、創新能力與團隊合作能力是企業最重視的地方，建議同學們在學校裡要增加創新能力，尤其應該加強自己的抗壓能力，才能在職場發光發熱。
尤振富強調，今年下半年聯電還要招募8百多位工程師，明年全球產能擴充下，人力需求不會少於2千位。目前大學畢業生薪資大約37到41K，碩士畢業46到52K。
今年24歲、剛從清華大學工業工程研究所畢業的采薇，在校期間曾拿到大數據分析團隊冠軍，還沒跨出校門就有40家知名廠商爭著邀請她參加面試。在校期間采薇也曾到科技大廠實習，以及許多產學合作計畫，發現團隊與合作力的重要，也提早拓展自己的人脈，她認為這是自己贏在職場起跑點的重要原因。（張勵德／台北報導）
轉載自蘋果新聞
1111人力銀行今天公布「2015企業最愛大學調查」，在1152位企業人力主管心目中，最愛的公立一般大學由成功大學拔得頭籌，其次是台大及交大；私立一般大學則以淡江大學居首，輔大、逢甲名列2、3名。
1111人力銀行表示，在評選中6大職場能力，包括專業知識技術、全球移動力、創意創新能力、學習力與可塑造性、溝通與表達能力等5項指標，皆由台大獨占鰲頭，但在企業最重視的「團隊與合作能力」項目，卻以成大居首，台大則遠遠落居第5名，而企業第2重視的學習能力與可塑造性，成大也以些微差距落後台大位居第2，因此整體而言成大才能拿謝總體第一的成績。
1111人力銀行副總李大華表示，成大培養出的人才，不但具備專業更擁有「好用」的特質，整體素質佳，因而成為企業指名度最高的學校。至於私校排名第一的淡江大學，極具規模與歷史，長期耕耘國際化、資訊化及未來化的發展，成為私校發展的領先指標。
至於在技專院校方面，公立技專院校前3位依序為台科大、北科大及雲科大；私立技專院校則以明志科技學院排第一，其他依序為朝陽科大及明新科大。
另外調查也顯示，年輕有幹勁(56.4%)、具創新思考能力(34.9%)與積極有企圖心(31.4%)是受訪企業樂於接受大學應屆畢業生的3大主因：但不接受大學應屆畢業生的企業認為，新鮮人上手太慢(49.3%)、訓練成本高(46.3%)及抗壓性低(34.3%)是不願接受社會新鮮人的3大原因。
成功大學校長蘇慧貞表示，成大培育出的人才是台灣產業發展的穩定力量，培育出的人才相當重視團隊合作及願意溝通這兩項特質。近年來該校加強人文社科的領域，原本的理工人才在跨領域薰陶下，出現許多投入文創創業成功的例子。下一階段會加強學生的全球移動力、創新發展能力及跨領域能力的培養，期盼能繼續培育出受企業青睞的人才，也希望企業能提供資源幫助學校。
台科大校長廖慶榮也說，台科大的學生雖然都是高職生，但動手做的能力絕對比一般生更好，未來會加強學生研發能力培養，希望培育出更多兼具理論與實務的人才。
聯電人力資源處長尤振富表示，目前科技產業的複雜性不是一個人單打獨鬥就可以，因此專業能力、創新能力與團隊合作能力是企業最重視的地方，建議同學們在學校裡要增加創新能力，尤其應該加強自己的抗壓能力，才能在職場發光發熱。
尤振富強調，今年下半年聯電還要招募8百多位工程師，明年全球產能擴充下，人力需求不會少於2千位。目前大學畢業生薪資大約37到41K，碩士畢業46到52K。
今年24歲、剛從清華大學工業工程研究所畢業的采薇，在校期間曾拿到大數據分析團隊冠軍，還沒跨出校門就有40家知名廠商爭著邀請她參加面試。在校期間采薇也曾到科技大廠實習，以及許多產學合作計畫，發現團隊與合作力的重要，也提早拓展自己的人脈，她認為這是自己贏在職場起跑點的重要原因。（張勵德／台北報導）
轉載自蘋果新聞
2015年6月3日 星期三
指考衝刺（三）／數學鎖定「三顆星」 多練考古題
2015-06-03 09:33:39 聯合報 本報記者林秀姿
去年指考自然組的數學甲被稱為史上最難，預期今年難度降低；而去年社會組的數學乙太過簡單，今年預期提高難度；數甲、數乙都要鎖定大考中心公布的「三顆星」單元。
台北市麗山高中數學科老師黃靜寧分析，數甲要注意高一的多項式函數及指數對數，容易被考生忽略的是排列組合，雖非三顆星單元，但會藏在機率的題目中。
高二要加強三角、坐標與幾何，比較特別的是學測考第四冊A版，指考便會考第四冊B版，尤其雙圈部分單元容易出題；高三選修是數甲的出題重點，上、下冊會出40至50分，尤其微積分、機率統計II。
至於數乙，黃靜寧分析多集中在高一、高二單元，高二的直線與圓會出2題，而選修的機率統計II整章都會考，會出到占一半的分數，但三角不會考，極限函數近幾年只有去年考過1題。
補教老師解赫哲說，數甲考題常會有跨單元的整合數個概念的問題，且計算量也較多，但考試時間80分鐘，題數約在12至13題，因此，考生應專注在答對率的提升，至於題目的難易度約與學校聯合模擬考相當。
另外，數乙的題目計算量較少，也很少會有整合性試題，題數約11、12題，但統計的題目有的敘述冗長，考生要練習重點閱讀，而題目的難度會較學校模擬考簡單。
黃靜寧建議，最後1個月多花時間練習近3年考古題，且優先準備三顆星的單元，每個三顆星單元都不能放棄，數學科每題超過6分，錯1、2題便損失重大。
解赫哲建議每天定時定量練習，以「高三、高二、高一、高三」順序和比例複習，考前3天不再做新的試題，而是把之前做錯的再仔細審視一遍。
轉自2015-06-03 聯合報
去年指考自然組的數學甲被稱為史上最難，預期今年難度降低；而去年社會組的數學乙太過簡單，今年預期提高難度；數甲、數乙都要鎖定大考中心公布的「三顆星」單元。
台北市麗山高中數學科老師黃靜寧分析，數甲要注意高一的多項式函數及指數對數，容易被考生忽略的是排列組合，雖非三顆星單元，但會藏在機率的題目中。
高二要加強三角、坐標與幾何，比較特別的是學測考第四冊A版，指考便會考第四冊B版，尤其雙圈部分單元容易出題；高三選修是數甲的出題重點，上、下冊會出40至50分，尤其微積分、機率統計II。
至於數乙，黃靜寧分析多集中在高一、高二單元，高二的直線與圓會出2題，而選修的機率統計II整章都會考，會出到占一半的分數，但三角不會考，極限函數近幾年只有去年考過1題。
補教老師解赫哲說，數甲考題常會有跨單元的整合數個概念的問題，且計算量也較多，但考試時間80分鐘，題數約在12至13題，因此，考生應專注在答對率的提升，至於題目的難易度約與學校聯合模擬考相當。
另外，數乙的題目計算量較少，也很少會有整合性試題，題數約11、12題，但統計的題目有的敘述冗長，考生要練習重點閱讀，而題目的難度會較學校模擬考簡單。
黃靜寧建議，最後1個月多花時間練習近3年考古題，且優先準備三顆星的單元，每個三顆星單元都不能放棄，數學科每題超過6分，錯1、2題便損失重大。
解赫哲建議每天定時定量練習，以「高三、高二、高一、高三」順序和比例複習，考前3天不再做新的試題，而是把之前做錯的再仔細審視一遍。
轉自2015-06-03 聯合報
2015年6月2日 星期二
為了這道數學題 網友又吵翻了！
2015年06月02日09:41
數字不只是概念還有邏輯，有網友收到一道數學題，他算了半天就是和朋友不同，因此在ptt詢問廣大的鄉民，答案到底是多少？
數學題是：「某人拿了一百元鈔票到商店買了25元的東西，店主由於手頭沒有零錢，便拿了這張百元鈔到隔壁攤販那換了100元零錢，並找了那人75元零錢。那人拿著25元的東西和75元的零錢走了。過了一會兒，隔壁攤販找了店主，說剛才店主拿來換零錢的百元鈔是假鈔。店主仔細一看，果然是假鈔。店主只好又拿了一張真的百元鈔給小販。問題：在整個過程中，店主一共虧了多少錢？」
網友說，他都覺得是虧了175元，甚至和媽媽模擬算出來也是175元，但他朋友就說答案是100元，因此向鄉民求解！綜合其他網友答案包括：75元、100元、125元、175元、200元。（即時新聞中心／綜合報導）
轉載蘋果新聞104//06/02
數字不只是概念還有邏輯，有網友收到一道數學題，他算了半天就是和朋友不同，因此在ptt詢問廣大的鄉民，答案到底是多少？
數學題是：「某人拿了一百元鈔票到商店買了25元的東西，店主由於手頭沒有零錢，便拿了這張百元鈔到隔壁攤販那換了100元零錢，並找了那人75元零錢。那人拿著25元的東西和75元的零錢走了。過了一會兒，隔壁攤販找了店主，說剛才店主拿來換零錢的百元鈔是假鈔。店主仔細一看，果然是假鈔。店主只好又拿了一張真的百元鈔給小販。問題：在整個過程中，店主一共虧了多少錢？」
網友說，他都覺得是虧了175元，甚至和媽媽模擬算出來也是175元，但他朋友就說答案是100元，因此向鄉民求解！綜合其他網友答案包括：75元、100元、125元、175元、200元。（即時新聞中心／綜合報導）
轉載蘋果新聞104//06/02
2015年3月19日 星期四
婚禮當眾考數學 新郎答錯、新娘走人
婚禮當眾考數學 新郎答錯、新娘走人
2015年03月13日16:40
印度仍有不少媒妁之言的婚姻，新人在婚禮前幾乎不認識對方。印度一名新娘在婚禮上為了確認丈夫的教育程度，當眾考一題數學，結果答案讓新娘氣得走人。
美聯社報導，印度北方邦一座小鎮本周三發生這起落跑新娘事件。原來是新娘在婚禮上問新郎：15加6等於多少？結果新郎竟然回答：17。新娘氣到立刻離開宴會場地，即使男方家人苦勸也不願繼續婚禮。新娘家人指控對方隱瞞男方教育程度，雙方鬧上警局。在警方調解下，雙方互相退還聘金及嫁妝，婚約宣告破裂。（桂家齊／綜合外電報導）
(文章轉自蘋果新聞)
2015年03月13日16:40
印度仍有不少媒妁之言的婚姻，新人在婚禮前幾乎不認識對方。印度一名新娘在婚禮上為了確認丈夫的教育程度，當眾考一題數學，結果答案讓新娘氣得走人。
美聯社報導，印度北方邦一座小鎮本周三發生這起落跑新娘事件。原來是新娘在婚禮上問新郎：15加6等於多少？結果新郎竟然回答：17。新娘氣到立刻離開宴會場地，即使男方家人苦勸也不願繼續婚禮。新娘家人指控對方隱瞞男方教育程度，雙方鬧上警局。在警方調解下，雙方互相退還聘金及嫁妝，婚約宣告破裂。（桂家齊／綜合外電報導）
(文章轉自蘋果新聞)
2015年3月18日 星期三
2015年3月6日 星期五
數學要好 得多做習題
數學要好 得多做習題
中廣新聞網中廣新聞網 – 2014年12月15日 下午3:48..
要想學生的數學成績好，就得讓學生多寫習題。
「經濟合作發展組織」統計出了世界六十五國十五歲學生的數學成績，以及他們每個星期做數學功課的時間。結果顯示，題目做得多，成績就好。
數學成績最好的上海學生，一星期要寫十三點八小時的數學題目，排第二的新加坡要寫九點四小時，第三名的香港寫六個小時。
「經濟合作發展組織」說，學生多寫功課，數學成績就會進步。不過，要想提升整體教育，學校的組織、老師的教法就都得大修。報導中沒有提到這次台灣學生的排名，不過兩年前，2012那次評比，台灣學生的數學成績排第四。
中廣新聞網中廣新聞網 – 2014年12月15日 下午3:48..
要想學生的數學成績好，就得讓學生多寫習題。
「經濟合作發展組織」統計出了世界六十五國十五歲學生的數學成績，以及他們每個星期做數學功課的時間。結果顯示，題目做得多，成績就好。
數學成績最好的上海學生，一星期要寫十三點八小時的數學題目，排第二的新加坡要寫九點四小時，第三名的香港寫六個小時。
「經濟合作發展組織」說，學生多寫功課，數學成績就會進步。不過，要想提升整體教育，學校的組織、老師的教法就都得大修。報導中沒有提到這次台灣學生的排名，不過兩年前，2012那次評比，台灣學生的數學成績排第四。
數學微積分的宗教秘史
數學微積分的宗教秘史
重點提要
■17世紀，義大利數學家卡瓦列里提出：任何平面都是由無窮多個線條構成，而任何立體則由無窮多個平面組成。他說，我們可以利用這些「不可分量」來計算長度、面積和體積──這是邁向現代微積分重要的一步。
■和卡瓦列里同時代的瑞士數學家古爾丁對此非常不認同，他批評不可分量不合邏輯，但這兩人的爭論並非全是出於數學理由。
■他們分屬兩個不同教派，雖然名稱類似，但兩方教派的哲學大不相同：古爾丁屬於耶穌會，而卡瓦列里則屬於耶穌教團。前者相信可利用數學把嚴密的邏輯結構強加在混亂的宇宙之上，後者則比較想順從直覺去了解複雜的世界。
無數學生都學過微積分，也就是把物體分割成許多等分再加總起來，以求得長度、面積或體積，屬於數學的一門分支，但是很少人知道，他們的微積分作業有一些源自17世紀兩位學者之間的爭辯。在1635年，義大利數學家卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）宣稱，任何平面是由無窮多個平行線構成，而任何立體則由無窮多個平面組成。他的「不可分量法」（method of indivisibles）曾經遭受瑞士數學家古爾丁（Paul Guldin）因經驗理由而抨擊，但是後來仍保存下來，成為了微積分的先驅。美國加州大學洛杉磯分校的亞歷山大發現，這場爭辯的背後藏有更多的個人動機。本文摘錄自亞歷山大的最新著作，他指出卡瓦列里和古爾丁分屬不同的天主教會，兩人對於如何透過數學來理解現實的本質，意見有所分歧。
古爾丁在1641年出版的著作《重心》（De Centro Gravitatis，亦稱Centrobaryca）的第四卷內，詳細批判了卡瓦列里的不可分量法。古爾丁認為，古典數學家無法接受卡瓦列里的證明，因為那不是構造性證明（constructive proof）。這樣的說法確實沒錯，在傳統的歐氏幾何裡，幾何圖形是一步接一步，從簡單到複雜，只藉由直尺畫線和圓規畫圓建構起來。在證明圖形的每個步驟裡，都必須具有這種建構性，再加上邏輯演繹，才能得到最後的圖形。然而卡瓦列里卻反其道而行，他從拋物線、螺線等已經畫出的幾何圖形開始，然後把它們分割成無窮多的等分。這種方法或許可以稱為「解構」，而不是「建構」，其目的並非建立合乎邏輯的幾何圖形，而是拆解既有圖形的內部結構。
古爾丁接著攻擊卡瓦列里方法的基本原則，也就是平面由無窮多個平行線構成、立體由無窮多個平面組成的這種概念。古爾丁堅稱這種概念簡直是胡說八道，他說：「沒有幾何學家會認同他的平面概念，更不可能以『圖形裡的所有直線』這種幾何語言來稱呼平面。」
換句話說，因為線條沒有寬度，即便數量再多的線條並排在一起，也無法構成最小的平面。因此卡瓦列里透過圖形中「所有線條」來計算平面面積，顯得很荒謬。古爾丁接著說出他的觀點：卡瓦列里的方法是，以某個圖形的所有線條與另一個圖形的所有線條之間的比例來計算。但古爾丁堅稱，兩個圖形的線條都無窮多，兩個無窮之間的比例並無意義。無窮多個不可分量不論乘以幾次，都不可能超過另一組無窮多個不可分量。
宗教介入？
古爾丁批評卡瓦列里方法的所有論述，具體展現出當時耶穌會（Jesuit）數學的核心原則。耶穌會數學的傳統創始者克拉維烏斯（Christopher Clavius）與信徒深信，從簡單的公設到更複雜的定理，數學推演都必須具有系統並符合邏輯演繹，以描寫圖形之間的普遍關係，構造性證明正是這種理想的具體表現。這種方法能產生嚴謹、有階層的數學邏輯，對耶穌會而言，這正是人們為何研究這個領域的主因。這種方法能透過系統化的演繹，顯現出抽象原則如何建構出固定且理性的世界，其中的真理是萬物適用而不可挑戰的。對此，克拉維烏斯指出，歐氏幾何要比其他任何科學更接近耶穌會嚴謹、階層和秩序的理想。由此可知，古爾丁並非如卡瓦列里和他的朋友所認為，是因為迂腐或心胸狹隘而緊抱著構造性證明不放，他不過是表現出自己對所屬教派的堅定。
古爾丁對於卡瓦列里方法基本原則的批評，也是如此。數學不僅必須具有階層、構造性，還必須完全理性、不能有所矛盾。但古爾丁指出，卡瓦列里不可分量中最核心的概念是條理不清的，因為把連續體視為不可分量的組合這種概念是禁不起理性的考驗。他喝斥：「不存在的事物，就是不可能存在，無法拿來互相比較，也難怪會造成矛盾和不一致，最後導致錯誤。」
對於耶穌會來說，這樣的數學還不如不要，畢竟數學的目的是為世界帶來正確的秩序和穩定，而不可分量法卻會造成困惑和混亂。假如接受這種有瑕疵的系統，數學就不能永久維持理性和秩序的基礎，那麼耶穌會的夢想，也就是一個如同幾何真理般有嚴謹階層而不可挑戰的夢想，也將隨之瓦解。
古爾丁在他的著作裡並未解釋他反對不可分量的深層哲學動機；其他耶穌會數學家也不曾解釋，例如同樣抨擊卡瓦列里的貝蒂尼（Mario Bettini）和塔奎特（Andrea Tacquet）。古爾丁一度差點坦承，這件事不僅攸關數學，而是牽涉更廣的議題。他神秘地寫道：「我認為不該以那些必須受到抑制的動機與不適當的沉默，來排拒不可分量法。」但他不曾解釋過那些「必須受到抑制的動機」究竟是什麼。這三位數學家擔負起了用數學抨擊不可分量的任務，而不涉及哲學或宗教。假設他們坦承這些動機是基於神學或哲學上的考量，他們在數學領域的威信必將受損。
那些參與不可分量論戰的人，當然知道真正的風險何在，就像耶穌教團（Jesuat）數學家安傑里（Stefano degli Angeli）以詼諧的文句暗示：不知道耶穌會數學家是受到「何種神靈」的感召。然而除了極少數的例外，這場爭辯一直局限在數學領域，是兩群受過高度訓練的專家，在爭論數學演算程序的合理性。
重點提要
■17世紀，義大利數學家卡瓦列里提出：任何平面都是由無窮多個線條構成，而任何立體則由無窮多個平面組成。他說，我們可以利用這些「不可分量」來計算長度、面積和體積──這是邁向現代微積分重要的一步。
■和卡瓦列里同時代的瑞士數學家古爾丁對此非常不認同，他批評不可分量不合邏輯，但這兩人的爭論並非全是出於數學理由。
■他們分屬兩個不同教派，雖然名稱類似，但兩方教派的哲學大不相同：古爾丁屬於耶穌會，而卡瓦列里則屬於耶穌教團。前者相信可利用數學把嚴密的邏輯結構強加在混亂的宇宙之上，後者則比較想順從直覺去了解複雜的世界。
無數學生都學過微積分，也就是把物體分割成許多等分再加總起來，以求得長度、面積或體積，屬於數學的一門分支，但是很少人知道，他們的微積分作業有一些源自17世紀兩位學者之間的爭辯。在1635年，義大利數學家卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）宣稱，任何平面是由無窮多個平行線構成，而任何立體則由無窮多個平面組成。他的「不可分量法」（method of indivisibles）曾經遭受瑞士數學家古爾丁（Paul Guldin）因經驗理由而抨擊，但是後來仍保存下來，成為了微積分的先驅。美國加州大學洛杉磯分校的亞歷山大發現，這場爭辯的背後藏有更多的個人動機。本文摘錄自亞歷山大的最新著作，他指出卡瓦列里和古爾丁分屬不同的天主教會，兩人對於如何透過數學來理解現實的本質，意見有所分歧。
古爾丁在1641年出版的著作《重心》（De Centro Gravitatis，亦稱Centrobaryca）的第四卷內，詳細批判了卡瓦列里的不可分量法。古爾丁認為，古典數學家無法接受卡瓦列里的證明，因為那不是構造性證明（constructive proof）。這樣的說法確實沒錯，在傳統的歐氏幾何裡，幾何圖形是一步接一步，從簡單到複雜，只藉由直尺畫線和圓規畫圓建構起來。在證明圖形的每個步驟裡，都必須具有這種建構性，再加上邏輯演繹，才能得到最後的圖形。然而卡瓦列里卻反其道而行，他從拋物線、螺線等已經畫出的幾何圖形開始，然後把它們分割成無窮多的等分。這種方法或許可以稱為「解構」，而不是「建構」，其目的並非建立合乎邏輯的幾何圖形，而是拆解既有圖形的內部結構。
古爾丁接著攻擊卡瓦列里方法的基本原則，也就是平面由無窮多個平行線構成、立體由無窮多個平面組成的這種概念。古爾丁堅稱這種概念簡直是胡說八道，他說：「沒有幾何學家會認同他的平面概念，更不可能以『圖形裡的所有直線』這種幾何語言來稱呼平面。」
換句話說，因為線條沒有寬度，即便數量再多的線條並排在一起，也無法構成最小的平面。因此卡瓦列里透過圖形中「所有線條」來計算平面面積，顯得很荒謬。古爾丁接著說出他的觀點：卡瓦列里的方法是，以某個圖形的所有線條與另一個圖形的所有線條之間的比例來計算。但古爾丁堅稱，兩個圖形的線條都無窮多，兩個無窮之間的比例並無意義。無窮多個不可分量不論乘以幾次，都不可能超過另一組無窮多個不可分量。
宗教介入？
古爾丁批評卡瓦列里方法的所有論述，具體展現出當時耶穌會（Jesuit）數學的核心原則。耶穌會數學的傳統創始者克拉維烏斯（Christopher Clavius）與信徒深信，從簡單的公設到更複雜的定理，數學推演都必須具有系統並符合邏輯演繹，以描寫圖形之間的普遍關係，構造性證明正是這種理想的具體表現。這種方法能產生嚴謹、有階層的數學邏輯，對耶穌會而言，這正是人們為何研究這個領域的主因。這種方法能透過系統化的演繹，顯現出抽象原則如何建構出固定且理性的世界，其中的真理是萬物適用而不可挑戰的。對此，克拉維烏斯指出，歐氏幾何要比其他任何科學更接近耶穌會嚴謹、階層和秩序的理想。由此可知，古爾丁並非如卡瓦列里和他的朋友所認為，是因為迂腐或心胸狹隘而緊抱著構造性證明不放，他不過是表現出自己對所屬教派的堅定。
古爾丁對於卡瓦列里方法基本原則的批評，也是如此。數學不僅必須具有階層、構造性，還必須完全理性、不能有所矛盾。但古爾丁指出，卡瓦列里不可分量中最核心的概念是條理不清的，因為把連續體視為不可分量的組合這種概念是禁不起理性的考驗。他喝斥：「不存在的事物，就是不可能存在，無法拿來互相比較，也難怪會造成矛盾和不一致，最後導致錯誤。」
對於耶穌會來說，這樣的數學還不如不要，畢竟數學的目的是為世界帶來正確的秩序和穩定，而不可分量法卻會造成困惑和混亂。假如接受這種有瑕疵的系統，數學就不能永久維持理性和秩序的基礎，那麼耶穌會的夢想，也就是一個如同幾何真理般有嚴謹階層而不可挑戰的夢想，也將隨之瓦解。
古爾丁在他的著作裡並未解釋他反對不可分量的深層哲學動機；其他耶穌會數學家也不曾解釋，例如同樣抨擊卡瓦列里的貝蒂尼（Mario Bettini）和塔奎特（Andrea Tacquet）。古爾丁一度差點坦承，這件事不僅攸關數學，而是牽涉更廣的議題。他神秘地寫道：「我認為不該以那些必須受到抑制的動機與不適當的沉默，來排拒不可分量法。」但他不曾解釋過那些「必須受到抑制的動機」究竟是什麼。這三位數學家擔負起了用數學抨擊不可分量的任務，而不涉及哲學或宗教。假設他們坦承這些動機是基於神學或哲學上的考量，他們在數學領域的威信必將受損。
那些參與不可分量論戰的人，當然知道真正的風險何在，就像耶穌教團（Jesuat）數學家安傑里（Stefano degli Angeli）以詼諧的文句暗示：不知道耶穌會數學家是受到「何種神靈」的感召。然而除了極少數的例外，這場爭辯一直局限在數學領域，是兩群受過高度訓練的專家，在爭論數學演算程序的合理性。
作者：亞歷山大 翻譯：鍾樹人/科學人雜誌 2014年7月3日
學校成績較女孩差 男孩數理仍較有自信
學校成績較女孩差 男孩數理仍較有自信
（中央社巴黎5日綜合外電報導）經濟合作暨發展組織（OECD）今天發布的報告指出，在學校就讀的15歲青少年，男孩的成績很可能較女同學差，但是將來較可能攻讀科學和數學。
法新社報導，OECD調查65個國家及地區的15歲學生，結果顯示：「15歲男孩很可能較同齡女孩成績差。」
男孩每週做家庭作業的時間較女孩少一個小時，使他們在閱讀、數學和科學上的成績差很多。
OECD表示：「在校外，比起女孩，男孩花較多時間玩電動遊戲，花較少時間為樂趣而閱讀，尤其是像小說這樣的複雜讀本。」
宣稱「上學是浪費時間」的男孩比女孩高出8個百分點。
不過，男孩的確在數學上佔優勢，在所有接受調查的國家中，15歲女孩表現都沒有同齡男孩好。
報告發現：「整體而言，女孩對於解數學題或科學問題的能力較沒自信。即使是學校成績好的女孩，也傾向對數學表達強烈焦慮感。」
因此，OECD發現，不到5%受訪女孩說會考慮從事電腦或工程業。1040305
（中央社巴黎5日綜合外電報導）經濟合作暨發展組織（OECD）今天發布的報告指出，在學校就讀的15歲青少年，男孩的成績很可能較女同學差，但是將來較可能攻讀科學和數學。
法新社報導，OECD調查65個國家及地區的15歲學生，結果顯示：「15歲男孩很可能較同齡女孩成績差。」
男孩每週做家庭作業的時間較女孩少一個小時，使他們在閱讀、數學和科學上的成績差很多。
OECD表示：「在校外，比起女孩，男孩花較多時間玩電動遊戲，花較少時間為樂趣而閱讀，尤其是像小說這樣的複雜讀本。」
宣稱「上學是浪費時間」的男孩比女孩高出8個百分點。
不過，男孩的確在數學上佔優勢，在所有接受調查的國家中，15歲女孩表現都沒有同齡男孩好。
報告發現：「整體而言，女孩對於解數學題或科學問題的能力較沒自信。即使是學校成績好的女孩，也傾向對數學表達強烈焦慮感。」
因此，OECD發現，不到5%受訪女孩說會考慮從事電腦或工程業。1040305
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